Делается в Министерстве образования:

1. Подать заявку можно очно, но гораздо удобнее сделать это через сайт госуслуг mos.ru ("Услуги" / "Образование" / "Документы об образовании" / "Подтверждение документов ..." / "Получить услугу"). На этом этапе достаточно только скана паспорта, диплома и приложения к нему. В личном кабинете надо заполнить форму с этими данными. В этот же или на следующий день придет уведомление "Заявка принята к рассмотрению". В теории должны все сделать за 5 рабочих дней. Но в реальности они отправляют запрос в ВУЗ или архив, а это требует много времени. Поэтому имеют право продлить рассмотрения заявки еще на 45 рабочих дней. Итого 50 рабочих дней, то есть 2.5 месяца. Мою заявку рассматривали 1 месяц.
2. Проверять статус заявки можно там же в Госуслугах my.mos.ru/my/#activity (по клику на "N сообщений" в правом верхнем углу). Когда будет статус "Заявка выполнена", надо будет оплатить 2.5 тыс. руб. Когда я оплачивал, там была какая-то государственная акция по привлечения всех в Госуслуги и предоставляли скидку 30%.
3. Оригинал диплома и приложения надо принести в Министерство образования. У них много разных адресов. Вам нужен отдел апостилирования и никакой другой! Для Москвы это единственный адрес: 2-й Балтийский переулок, дом 3. При себе надо иметь паспорт. Если подает другой человек, то нужна нотариальная доверенность.
4. Диплом и приложение сброшуруют и прикрепят бумажку со специальным штампом, подписью и печатью. Я ждал в очереди 5 минут и еще 15 минут, пока сделают апостиль.